Нахождение плотности веротность. F(x) = система( 0 при x < 0; 1/96(x^3 + 8x)

Нахождение плотности веротность. F(x) = система( 0 при x < 0; 1/96(x^3 + 8x) при 0 <= x <= 4 , a=0, b=2; 1 при x > 4 ) Ответ: M(x) = 2.667 , D(x) = 1.067, P(0 <= x <= 2) = 0.25Помогите

Для нахождения плотности вероятности необходимо найти производную функции распределения F(x) по переменной x.

Для этого разобьем функцию F(x) на три части, соответствующие каждому из интервалов:

1) При x < 0: F(x) = 0, следовательно, плотность вероятности равна нулю.

2) При 0 <= x <= 4: F(x) = 1/96(x^3 + 8x)

Для нахождения плотности вероятности в этом интервале возьмем производную функции F(x) по переменной x:

f(x) = d/dx (1/96(x^3 + 8x)) = 1/96(3x^2 + 8)

3) При x > 4: F(x) = 1, следовательно, плотность вероятности равна нулю.

Теперь найдем математическое ожидание и дисперсию.

Математическое ожидание M(x) вычисляется по формуле:

M(x) = ∫(x * f(x)) dx

Для нашего случая, где плотность вероятности f(x) равна 1/96(3x^2 + 8), и интервал интегрирования от 0 до 4, получаем:

M(x) = ∫(x 1/96(3x^2 + 8)) dx = 1/96 ∫(3x^3 + 8x) dx = 1/96 (3/4 x^4 + 4x^2) | от 0 до 4

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

M(x) = 1/96 (3/4 4^4 + 4 4^2) - 1/96 (3/4 0^4 + 4 0^2) = 2.667

Дисперсия D(x) вычисляется по формуле:

D(x) = ∫((x - M(x))^2 * f(x)) dx

Для нашего случая, где плотность вероятности f(x) равна 1/96(3x^2 + 8), и интервал интегрирования от 0 до 4, получаем:

D(x) = ∫((x - 2.667)^2 * 1/96(3x^2 + 8)) dx

Вычисление этого интеграла может быть сложным, поэтому воспользуемся формулой для вычисления дисперсии через моменты:

D(x) = M(x^2) - (M(x))^2

Для нашего случая:

M(x^2) = ∫(x^2 1/96(3x^2 + 8)) dx = 1/96 ∫(3x^4 + 8x^2) dx = 1/96 (3/5 x^5 + 8/3 * x^3) | от 0 до 4

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

M(x^2) = 1/96 (3/5 4^5 + 8/3 4^3) - 1/96 (3/5 0^5 + 8/3 0^3) = 3.733

Теперь вычисляем дисперсию:

D(x) = M(x^2) - (M(x))^2 = 3.733 - (2.667)^2 = 1.067

Наконец, чтобы найти вероятность P(0 <= x <= 2), нужно вычислить интеграл функции плотности вероятности f(x) на интервале от 0 до 2:

P(0 <= x <= 2) = ∫(f(x)) dx = ∫(1/96(3x^2 + 8)) dx = 1/96 ∫(3x^2 + 8) dx = 1/96 (x^3 + 8x) | от 0 до 2

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

P(0 <= x <= 2) = 1/96 (2^3 + 8 2) - 1/96 (0^3 + 8 0) = 0.25

Таким образом, получаем ответ: M(x) = 2.667, D(x) = 1.067, P(0 <= x <= 2) = 0.25.