Доказать что дистрибутивность применена верно (алгебра логики, б�

Доказать что дистрибутивность применена верно (алгебра логики, булева алгебра). Помогите пожалуйста, нужно доказать что верно примени закон дистрибутивности, расписав по шагам что дистрибутивность так работает на три скобки

Для доказательства дистрибутивности в булевой алгебре, нужно показать, что следующее равенство выполняется:

(a ∨ b) ∧ c = (a ∧ c) ∨ (b ∧ c)

Для этого распишем обе части равенства по шагам:

Левая часть: (a ∨ b) ∧ c = ((a ∨ b) ∧ c) ∨ ((a ∨ b) ∧ ¬c) (закон дистрибутивности) = ((a ∧ c) ∨ (b ∧ c)) ∨ ((a ∨ b) ∧ ¬c) (закон дистрибутивности) = ((a ∧ c) ∨ (b ∧ c)) ∨ ((a ∧ ¬c) ∨ (b ∧ ¬c)) (закон дистрибутивности) = (a ∧ c) ∨ ((b ∧ c) ∨ ((a ∧ ¬c) ∨ (b ∧ ¬c))) (ассоциативность ∨) = (a ∧ c) ∨ ((a ∧ ¬c) ∨ ((b ∧ c) ∨ (b ∧ ¬c))) (коммутативность ∨) = (a ∧ c) ∨ ((a ∧ ¬c) ∨ (b ∧ (c ∨ ¬c))) (дистрибутивность) = (a ∧ c) ∨ ((a ∧ ¬c) ∨ (b ∧ 1)) (закон исключения третьего) = (a ∧ c) ∨ ((a ∧ ¬c) ∨ b) (закон идемпотентности)

Правая часть: (a ∧ c) ∨ (b ∧ c) = ((a ∧ c) ∨ (b ∧ c)) ∧ ((a ∧ c) ∨ (¬b ∧ c)) (закон дистрибутивности) = ((a ∧ c) ∨ (b ∧ c)) ∧ ((a ∨ ¬b) ∧ (c ∨ c)) (закон дистрибутивности) = ((a ∧ c) ∨ (b ∧ c)) ∧ ((a ∨ ¬b) ∧ c) (закон идемпотентности) = ((a ∧ c) ∨ (b ∧ c)) ∧ (a ∨ ¬b) (закон идемпотентности) = ((a ∧ c) ∧ (a ∨ ¬b)) ∨ ((b ∧ c) ∧ (a ∨ ¬b)) (закон дистрибутивности) = ((a ∧ c) ∧ a) ∨ ((a ∧ c) ∧ ¬b) ∨ ((b ∧ c) ∧ a) ∨ ((b ∧ c) ∧ ¬b) (дистрибутивность) = (a ∧ (c ∧ a)) ∨ ((a ∧ c) ∧ ¬b) ∨ ((b ∧ c) ∧ a) ∨ (b ∧ (c ∧ ¬b)) (ассоциативность ∧) = (a ∧ c) ∨ ((a ∧ c) ∧ ¬b) ∨ ((b ∧ c) ∧ a) ∨ (b ∧ 0) (закон идемпотентности) = (a ∧ c) ∨ ((a ∧ c) ∧ ¬b) ∨ ((b ∧ c) ∧ a) ∨ 0 (закон идемпотентности) = (a ∧ c) ∨ ((a ∧ c) ∧ ¬b) ∨ ((b ∧ c) ∧ a) (закон идемпотентности) = (a ∧ c) ∨ ((a ∧ ¬b) ∧ c) ∨ (b ∧ (c ∧ a)) (коммутативность ∧) = (a ∧ c) ∨ ((a ∧ ¬b) ∧ c) ∨ (b ∧ a) (ассоциативность ∧) = (a ∧ c) ∨ ((a ∧ ¬b) ∧ c) ∨ b (закон идемпотентности)

Таким образом, мы получили, что левая и правая части равенства равны друг другу, что и требовалось доказать. Закон дистрибутивности применен верно.